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前文回顾：

探秘埃舍尔那些鲜为人知的手稿（前传）：17种平面对称群

密铺——贴砖的艺术1：贴砖——伊斯兰工匠的艺术活

"平面规则分割是我挖掘出来的最丰富的灵感之泉，它至今也没有枯竭。"

——莫里茨·科内利斯·埃舍尔（Maurits Cornelis Escher）

使用多边形密铺创造伊斯兰几何图案可以追溯到这一装饰传统的形成时期，最早被广泛使用的系统是正多边形的密铺。古代工匠们利用正三角形、正方形、正六边形和正十二边形作为重复的模块，并在其上应用图案线，构造出各种各样的设计，其数量之多令人惊讶。本节，我们来探索基于正多边形密铺的伊斯兰图案设计。

根据"多边形密铺连线法"，首先需要构造底层密铺。最简单的密铺方法是用一种正多边形密铺平面，正三角形、正方形、正六边形都可以胜任，如图3.2.1所示。前一节中的图3.1.5就是由正六边形衍生的图案。

图3.2.1 正三角形、正方形、正六边形的密铺

然而，简单带来的代价就是单调且缺乏美感。如果我们使用多种正多边形尝试密铺，情况会立即变得有趣得多。那么，哪些正多边形组合在一起可以密铺平面呢？

这个问题并不难解，既然密铺，那么拼块的角放在一起就不能留有空隙或重叠。也就是每个正多边形的内角加在一起必须是360°。我们知道，正n边形每个内角为

因此如果多个正n边形组合成均匀的密铺，则需要满足：

解这个不定方程，可以得到17组正整数解，我们在表3-1中列出了这些种类。关于密铺的构造，数学家一般使用一种简单的记法，用数字代表正多边形之间的顶点周围的多边形边数。例如，上图中由正三角形构成的密铺就记作"3.3.3.3.3.3"，因为每个顶点都是由6个正三角形组成的。可以看出，在其中的4个种类中，有两种不同的多边形排列方式，这是因为它们的多边形循环顺序不同。因此，有21种可能的密铺类型，但其中只有11种可以密铺整个平面。其余10种之所以不行，是因为它们只能密铺局部，无法扩展到整个平面。

表3-1 正多边形密铺汇总

除了图3.2.1中列出的"3.3.3.3.3.3密铺"，"4.4.4.4密铺"和"6.6.6密铺"以外，其余8种密铺如图3.2.2所示。

图3.2.2

此外，还有很多种"半规则"密铺。所谓"半规则"，是指各种正多边形之间的顶点有多种不同的组合。这种"半规则"密铺虽然从数学角度看并不完美，但却可以构造出无穷多种密铺图案，工匠们也得以由此创建更具视觉吸引力和几何趣味的图案。下图3.2.3列出了5种"半规则"密铺。

图3.2.3

接下来，我们聊一聊"多边形密铺连线法"的第二个关键步骤——构造图案线。从前一节图3.1.4中所展示的样例可以看到，图案线在构成伊斯兰几何图案的过程中有很大的多样性。下图3.2.4a-e展示了典型的正三角形、正方形、正六边形、正八边形和正十二边形的图案线应用。图中将各种图案线定为锐角型、直角型、钝角型，以及两点型。当然，两点型也可以按照图案线所夹角度继续细分。角度不同，生成的几何图案千差万别。

图3.2.4a 正三角形的图案线应用

图3.2.4b 正方形的图案线应用

图3.2.4c 正六边形的图案线应用

图3.2.4d 正八边形的图案线应用

图3.2.4e 正十二边形的图案线应用

可以看到，锐角型和直角型图案线往往会在正多边形中央形成纤瘦或丰满的星形。星型图案在伊斯兰世界使用最广，其整个图形被称为"星盘"。而钝角型图案线则只会形成一些中空的多边形，此时，伊斯兰工匠们会在其内部构造蔷薇花图案。蔷薇花图案广泛见于伊斯兰几何图案中，它由多个花瓣环绕着一个星形构成。下图3.2.5展示了以正八边形、正十二边形的钝角型图案线为基础构造蔷薇花的方法。先在中央画一个圆，把中心与各边中点连接起来，形成辐线，然后在中央的圆内绘制星形，将星形的各条边向周围延长后即构成蔷薇花的花瓣，最后将多余的线条擦去就会得到一朵美丽的蔷薇花。

图3.2.5 由钝角型图案线构造蔷薇花

由此，"多边形密铺连线法"最重要的的两个步骤已经就绪。伊斯兰几何的神圣殿堂已经向我们敞开了大门。接下来，你不仅会欣赏到一场视觉的盛宴，或许也会感受到这些美妙图案所暗示的神的训导。

一、正六边形——六角星——所罗门封印

《古兰经》有云，"真主曾在六日内创造了天地万物"，六角星就是这一思想的最佳体现。六角星图案即传说中的"所罗门封印"，也叫"六芒星"、"犹太星"，就是今天以色列国旗上那两个正三角形交叠在一起的图案，它在伊斯兰艺术中非常常见。显然，带有正六边形的密铺最容易形成六角星。前一节中的图3.1.4和图3.1.5便是由"6.6.6密铺"衍生出的六角星图案。换一种基底多边形的密铺方法，添加图案线后生成的图案自然大不相同。

下图3.2.6a-f是"3.6.3.6密铺"的情况：a是锐角型图案；b、c是两种钝角型图案；d、e是两种两点型图案，图案线的夹角分别为60°和-60°。以上五种设计都遵循传统的图案线构造方法，先在正多边形中画出一组特定的图案线，并将这些线延伸到相邻的多边形单元中，直到与其他延伸线相遇。而f就比较奇怪了，它是一个连锁图案，它与a一样也是锐角型图案，角度也同为60°，但不同之处在于，它的图案线没有直接延伸到邻近的三角形，而是连接到了旁边六角星的顶点，形成了一种形如三角回旋镖的图形。这种画法不太符合常规，形成的图案却很有趣，三角回旋镖图案改变了与基底多边形结构的对称性。读过本书前一章《对称》的读者想必了解，"3.6.3.6密铺"本属于p3m1对称，按常规方法添加图案线之后形成的几何图案一般仍然与其底层密铺结构的对称性相同，而图f中的三角回旋镖围绕着六角星的图案却变成了p6对称，这一点非同寻常。

不难看出，边数较多的多边形内部绘制图案线之后往往会形成主图案。伊斯兰图案通常会被裁切成矩形，以主要图案的中心作为矩形的四个角。这样操作不仅保持了优美的几何形状，同时也清晰地表明这种图案可以无限延伸，这是阐释"无限"和"重复"的绝佳方式。

图3.2.6 a-f

图3.2.7a-d展示了由"3.4.6.4密铺"创建的四个设计。图a采用了取自底层密铺多边形中点的锐角型图案，夹角为60°。涂色后的图案以六角星和四角星为主，还有很多不规则的七边形。图b是钝角型图案，夹角为135°，正六边形中形成了六瓣蔷薇花，同时正方形中自然形成了正八边形。涂色之后出现了很多不规则的五角星，给人一种乱中有序的感觉。球迷朋友可能感觉它同欧洲足球冠军联赛的logo有些异曲同工之妙。图c和d都是两点型图案，都是平行的图案线，区别在于图c取的是三等分点，图d取的是四等分点。二者都在正六边形的中心形成了六角星图案。不难发现，用"6.6.6密铺"作为基底也能轻松地作出这两个设计。因此，图案线的灵活应用也可以打破不同底层密铺构造之间看似不可逾越的鸿沟，形成殊途同归的效果。

图3.2.7 a-d

正八边形——八角星——真主的呼吸

正八边形的规则密铺形式只有"4.8.8密铺"一种，因此形成的图案并不多。但由于正八边形和正方形配合在一起非常容易形成直角，所以在伊斯兰图案设计中自有一套独特的用途。图3.2.8a-d展示了"4.8.8密铺"的四个基本设计。图a是直角型图案线，这是最早和最广泛使用的伊斯兰几何图案之一，在很多清真寺中都能发现这个图案。它还可以被视为斜置的正方形的密铺，其中，蓝色的正方形各边向外凸出，黄色的正方形各边向内凹陷。由此，这个图案也被称为"真主的气息"。根据伊斯兰教教义，真主的气息是造物的基础，因为祂在呼吸之间释放了火、风、水、土四种元素。图b是锐角型图案线，夹角为45°，图案线延伸到正方形中，形成了四角星，最终形成了八角星与四角星交相辉映的效果。图c是钝角型图案线，夹角为135°，这一次形成了一大一小两种正八边形。图d是一种两点型图案线，两点取自各边的三等分点，形成的图案如同一个个带交叉线的方格，交点处是八角星。

图3.2.8 a-d

正十二边形——十二角星——无尽的联想

数字12在许多宗教和神话故事中都有特殊的意义。在基督教中，耶稣有12门徒，雅各的12个儿子建立了以色列。在佛教中，对于轮回的解释称作十二因缘论。在希腊神话中，万神殿的十二主神称为"奥林匹斯十二主神"。甚至电脑键盘上的功能键都是12个，从F1到F12……

同样，在伊斯兰世界中，12也有丰富的含义，例如十二伊玛目……

从数学角度看，12拥有很多约数，因此构造出的图案也拥有丰富的对称性，四重对称、六重对称都不在话下。

图3.2.9 a-d、图3.2.10 a-d、图3.2.11 a-d分别是基于"3.12.12密铺"、"4.6.12密铺"、"3.4.3.12-3.12.12密铺"构造的设计。读者可以对照感受它们的异同。

图a是典型的锐角设计，夹角为60°，这种图案在伊斯兰世界被广泛使用，图案线形成的十二角星可以看作是由两个六角星错叠而成。图9 a中的十二角星被围在大正六边形中，正六边形彼此交错，无限延伸；如果换个角度看，十二角星和它周围的六个小正六边形又组合成了六瓣蔷薇花的形状。图10 a中的十二角星被六个六角星和六个四角形环绕，整个图案仿佛星星的盛宴。以上二者都是典型的六重对称图案。而图11a中的十二角星则被围在一个不规则的八边形中，周围有四个四角形环绕，图案也变成了四重对称。

图b是直角设计，夹角为90°，图案线形成的十二角星可以看做是由三个正方形错叠而成。图b与图a依然有很多相似之处，但所有的星形图案都变得更丰满，包围主图案的多边形边数也有变化。

图c是钝角设计，夹角为120°，为填补主体图案中心巨大的空白，在此处构造蔷薇花饰是伊斯兰工匠们的惯用手法，构造方法请见图3.2.5。阿拉伯风格的最高境界便是将各种纹样有机地统一在一起，既不能只是用一两种纹样，又不能毫无计划地把一切堆放在一起。这种在星星中构造蔷薇花的技法就深谙此道。图9 c的蔷薇花被一圈箭头所环绕。图10 c在正六边形中同样构造了六瓣蔷薇花，大小蔷薇花相得益彰。图11c中的蔷薇花之间则形成了形如飞碟一样奇怪的图案。

图d是两点设计，两点取自各边三等分点，两条图案线彼此平行，构造比较简单。形成的图案都形如光芒四射的星星。值得一提的是，图9d和11d已经无法用两种颜色进行涂色。

图3.2.9 a-d

图3.2.10 a-d

图3.2.11 a-d

青山不改，绿水长流，在下告退。

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