高中数学导数知识点归纳总结教学提纲

1、14.导数知识要点1.导数(导函数的简称)的定义：设1.导数(导函数的简称)的定义：设X0是函数y f(x)定义域的一点，如果自变量X在X0处 有增量 x ,则函数值y也引起相应的增量 y f(x0 x) f(x0);比值y f(x0 x) f(x0)称为函数 y f (x)在点x0到x0 x之间的平均变化率；如果极限 TOC o 1-5 h z xxlim lim Bx) f(x0)存在,则称函数y f (x)在点x处可导，并把这个极限叫做 x 0 x x 0 xy f (x)在x0处的导数，记作f (x0)或y |x比，即f (x0)= lim lim f0 x)-f (x0).x 0 x

2、 x 0 x注： x是增量，我们也称为 改变量”，因为x可正，可负，但不为零.以知函数y f(x)定义域为A , y f(x)的定义域为B ,则A与B关系为A B.函数y f (x)在点x0处连续与点x0处可导的关系:函数y f(x)在点x0处连续是y f (x)在点x0处可导的必要不充分条件可以证明，如果 y f(x)在点x0处可导，那么y f(x)点x0处连续.事实上，令x x0 x,则xx0相当于 x 0.于是 lim f (x) lim f(x0 x) lim f (x x0) f(x0) f (x0)x %x 0 x 0f(x0 x) f(x0)lim Jf(x0 x) f(x0)l

3、im J x f(x。)x 0 x如果y f(x)点x0处连续，那么ylxm0f(x0 x)f(x。)lim lim f(x0)xx 0 x 0f(x)在点x0处可导，是不成立的f (x0) 0 f(x。)f(x0).例:f (x) |x|在点x0 0处连续，但在点x0 0处不可导，因为 y Jx-| ,当x0时,x x例:1 ;当 x 0,则y f(x)为增函数；如果f(x) 0,则y f(x)为减函数.常数的判定方法；如果函数y f (x)在区间I内恒有f (x)=0,则y f(x)为常数.注：f (x) 0是f (x)递增的充分条件，但不是必要条件，如 y 2x3在(，)上并不是都有f

4、(x) 0 ,有一个点例外即 x=0时f (x) = 0,同样f (x) 0是f (x)递减的充分非必 要条件.一般地，如果f (x)在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正(或负)，那么 f (x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的 .极值的判别方法：(极值是在x0附近所有的点，都有f (x) 0,右侧f(x) 0,那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x) 0,那么f(x0)是极小值.也就是说X0是极值点的充分条件是X0点两侧导数异号，而不是f(x)=0.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值

5、小(函数在某一点附近的点不同)注： 若点X0是可导函数f(x)的极值点，则f (x) =0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点X0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零例如：函数y f (x) x3 , X 0使f (x)=0,但X 0不是极值点.例如：函数y f (x) |x|,在点x 0处不可导，但点x 0是函数的极小值点.极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进 行比较.注：函数的极值点一定有意义.几种常见的函数导数：I.C(c为常数)(sin x)cosx,.、,1(arcsin x) ,1 x2(xn)n 1 /nx ( I.C(

6、c为常数)(sin x)cosx,.、,1(arcsin x) ,1 x2(xn)n 1 /nx ( nR)(cos x)sin x11(arccos x) ,1 x2II. (ln x)(10g a X)1一 loga e X,、1(arctan x) xX(e )(ax) ax ln a(arc cot x)1X2 1III.求导的常见方法:常用结论：(ln|x|)形如y (x a1 )(xa2)(x形如y (x a1 )(xa2)(xan)或 y(x a1)(x a2)(xan)(x b1)(x b2)(x bn)两边同取自然对数，可转化求代数和形式.无理函数或形如Xx这类函数，如Xx无

7、理函数或形如Xx这类函数，如Xx取自然对数之后可变形为ln y xlnx,对两边求导可得ln xyy yln XXy y x ln x x .导数知识点总结复习经典例题剖析考点一：求导公式。例 1. 例 1. f (X)是 f (X)2x 1的导函数，则f ( 1)的值是考点二：导数的几何意义。1 一例2.已知函数y f (x)的图象在点M (1, f(1)处的切线万程是y x 2,则 f(1) f (1) 。例3.曲线y x3 2x2 4x 2在点(1, 3)处的切线方程是。点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。例4.已知曲线 C： y x3 3x2 2x

8、 ,直线l : y kx ,且直线l与曲线 C相切于点 x0, y0 x00 ,求直线l的方程及切点坐标。点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意 切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。考点四：函数的单调性。例5.已知f x ax3 3x2 x 1在R上是减函数，求 a的取值范点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。考点五：函数的极值。例6.设函数f(x) 2x3 3ax2 3bx 8c在x 1及x 2时取得极值。(1)求a、b的值；(2)若对于任意的x 0,3,都有f

9、(x) c2成立，求c的取值范围。点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数f x的极值步骤：求导数f x ；求f x 0的根；将f x 0的根在数轴上标出，得出单调区间，由 f x在各区间上取值的正负可确定并求出函数f x的极值。考点六：函数的最值。例 7. 已知 a 为实数，f xx2 4 x a 。 求导数 f x ； ( 2) 若 f 10 ， 求 f x在区间2,2 上的最大值和最小值。点评： 本题考查可导函数最值的求法。求可导函数f x 在区间 a, b 上的最值，要先求出函数 f x 在区间 a,b 上的极值，然后与 f a 和 f b 进行比较，从而得出函数的最大最小值。考点七：导数的综合性问题。例8.设函数f(x) ax3 bx c (a 0)为奇函数，其图象在点(1, f (1)处的切线与直线x 6y 7 0垂直，导函数f(x)的最小值为 12。(1)求a, b, c的值；( 2)求函数f(x) 的单调递增区间，并求函数f(x) 在 1,3上的最大值和最小值点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。