浅析条件概率

1、浅析条件概率摘要：条件概率是概率论根底知识中的一个根本概念,是积事件概率和全概率公式的根底,但这一概念往往不被学生所重视,以致于影响到后面的教学效果。本文就这一概念教学进展了初步研究,并给出条件概率pa/b中,当pb=0时的一些有趣结论，旨在开阔学生的视野。关键词：条件概率；概率；随机试验；事件；抽签在多年的概率论教学过程中,笔者感觉到学生难以清楚地理解条件概率、积事件概率、全概率公式等概念,特别是在求解有关问题时,往往无处着手,出现思维障碍,从而影响了学生的学习积极性。究其原因，根本上是对条件概率概念没有很好地理解;在教学过程中，教师也没有引起重视,一笔带过,而把重点放在全概率公式上,学生处

2、于被动的学习状态。笔者拟就这一问题的教学作如下研究。首先，有必要弄清楚pa/b，pab，pa这三者之间的区别与联络。一是条件概率pa/b与概率pa的区别。每一个随机试验都是在一定条件下进展的。设a是随机试验的一个事件，那么pa是在一定条件下事件a发生的可能性的大校而条件概率pa/b是指在原条件下又添加“事件b发生这个条件时，事件a发生的可能性大小，即pa/b仍是概率，pa与pa/b的区别在于两者发生的条件不同，它们是两个不同的概率，在数值上一般也不相等。注：“事件b发生特指读者已经知道事件b发生，而实际上事件b往往在事件a发生之前发生，但也可以在事件a发生之后发生，如例1中求pa1/a2a3，

3、只是读者还不知道事件a已发生，用pa/b来估计事件a发生可能性的大校例1：5个签中的2个是“有，3个是“无，无放回地顺次抽取，每人抽一个，用ai表示第i个人抽到“有这一事件，那么pa2=，pa2/a1=。二是条件概率pa/b与概率pa的数量关系。条件概率pa/b是在原随机试验条件下又添加“事件b发生这个条件时事件a发生的可能性大小，是否一定有pa/bpa呢？1.当a、b互不相容时，a发生时b不发生，那么pa/b=0pa；2.当a?奂b时，pab=pa，pa/b=pa；3.当a、b既不是互不相容，又不是包含关系时，因pa/b=，大于、等于、小于pa三种可能都有，如pa=0.5,pb=0.4,当p

4、ab=0.30时，pa/b=0.75pa；当pab=0.20时，pa/b=0.5=pa;当pab=0.10时，pa/b=0.25三是条件概率pa/b与积事件的概率pab的区别。这两个概念从形式上看是容易区分的，但对于初学者来说很容易混淆，有必要强调一下。条件概率pa/b是指事件b发生这个条件下事件a发生的概率，而pab是指a、b同时发生的概率。因此“事件b发生在pa/b中是作为条件，而pab中是作为结果，所以两者不一样。例2：某班有男学生40人，女学生20人，通过英语六级者有15人，其中有女学生10人。在该班级中任意抽取一人，分别计算：1.求所取的学生为女学生并且已通过英语六级的概率；2.所取

5、的学生为女学生，求其通过英语六级的概率。解：设a=所取的学生已通过英语六级，b=女学生，那么1为求事件a、b的积事件的概率pab=；2为求在事件b发生条件下事件a发生的条件概率pa/b=。其次，要深化理解当pb0时,条件概率公式pa/b=的意义。一是要从理论上推出该公式非常困难，但从事件a、b的文氏图可直观地解释一下该公式，把pa看成为a的面积与必然事件的面积的比值，那么，pa/b为在b发生条件下a发生的概率，可理解为ab的面积与b的面积的比值，分别除以面积，即得条件概率公式pa/b=，可以让学生从心理上承受它并加深印象，而公式本身已证明是成立的，只要加以说明就行，这样可起到降低难度的作用。公

6、式给出了计算条件概率的一种方法。例3：某种品牌的彩色电视机使用寿命10年的概率为0.9,而使用寿命15年的概率为0.5,试求某台电视机已经使用10年的情况下，能再使用5年的概率。解:设b=电视机使用寿命10年，a=电视机使用寿命15年，那么pa=0.5，pb=0.9因为a发生必然导致b发生，即b?劢a，pab=pa=0.5，pa/b=。二是该公式的作用不仅仅用来计算条件概率，而且条件概率往往也可以直接算得，更重要的作用是用来计算积事件ab的概率，pab=pbpa/b这就是我们所说的乘法公式。例4：在例1中，计算pa1a2=pa1pa2/a1=，pa2=pa1a2+a1a2=pa1pa2/a1+

7、pa1pa2/a1=+=，同理可得pa3=pa4=pa5=，这道题目的解答也说明了这样一个问题：无放回抽签不分先后，各个人抽到好签的可能性是一样的，不必为轮到后面而不快乐，关键的问题是操作规那么要公正。也许会问前面的人好签抽走了，最后面的人还会有吗？那么要是前面的人没有全部抽走好签，最后面的人不是肯定能抽到好签吗？以上两种情况都属于条件概率。假设没有这个乘法公式，计算pa1a2难度就大得多了，得考虑两个“好签给5个人中的两个人抓到共有几种方法？是用排列数计算呢，还是用组合数计算呢？每种方法是否等可能的？要仔细分析一下，最后得：pa1a2=。再次，条件概率公式为全概率公式的计算奠定了根底，从而解

8、决了事件概率的计算问题。一般教材都给出条件概率pa/b中pb必须大于0，那么当pb=0时，pa/b是否有意义呢？显然条件概率公式是不能用了，当a、b所在的事件空间中的根本领件个数为有限个时，由pb=0，可得b所包含的有利事件个数为0个，由pa/b的含义得a的有利事件个数也为0个，所以，这时规定pa/b=0较妥当。而当为无限集时，情况比较复杂。现举例如下：当a、b所代表的事件互不影响时详细情况时容易判断的，规定pa/b=pa；当b?奂a时，b发生可推出a发生，这时pa/b=1；当a、b是互斥事件时，b发生时，推出a不发生，得pa/b=0；当b为不可能事件时，讨论pa/b实际上是无意义的，在不可能

9、事件b发生条件下a发生的概率，这句话本身就是相悖的，但为统一起来，可定义pa/b=0；当a、b是互不包含事件时，情况比较怎复杂，视详细情况而定。例5：质点随机地均等抛掷到-1，+1区间上，记a=质点落在0，1区间上，b=质点恰好落在点处，b1=质点落在-1，0，1这四点处，b2=质点落在0，1区间上的有理数点处，那么pa/b=1，pb/b1=，pb1/b2=0。参考文献：1杨义群.初等概率教学中定义条件概率的二个问题讨论j.教学与研究中学数学,1984,4:3.2谢国瑞.概率论与数理统计.北京:高等教育出版社,2002.3王潘玲.应用高等数学.杭州:浙江科学技术出版社,2022.4曹之江.现代数学优教原理探究j.数学教育学报,2022,2:1-2.